ТЕМА: Двогранні кути піраміди. Побудова лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди.
МЕТА: засвоєння поняття двогранного кута та його лінійного кута; формування навичок доведення того, що побудований кут є лінійним кутом двогранного кута піраміди; оволодіння навичками побудови лінійних кутів двогранних кутів піраміди; удосконалення вміння зображувати стереометричні фігури.
ТИП УРОКУ: Урок засвоєння нових знань.
ОБЛАДНАННЯ: Таблиці для розв'язування задач зі стереометрії.
ХІД УРОКУ
І. Актуалізація опорних знань
Завдання для двох учнів.
Назвати план побудови лінійного кута двогранного кута між бічною гранню та основою піраміди.
Довести, що площина лінійного кута перпендикулярна до кожної грані лінійного кута. (Двоє учнів працюють самостійно біля дошки.)
З рештою учнів проводиться бесіда за такими завданнями.
Дати означення піраміди.
Показати на моделях і малюнках різні піраміди.
Дати означення правильної, зрізаної та повної пірамід і їх елементів.
Як зображається основа піраміди, якщо вона є трикутником, рівнобедреним трикутником, рівностороннім трикутником, прямокутним трикутником, прямокутником, квадратом, ромбом, трапецією, рівнобічною трапецією?
Де знаходиться основа піраміди, якщо дві її бічні грані зі спільним ребром перпендикулярні до основи піраміди?
Що буде висотою піраміди, якщо одна її грань перпендикулярна до площини основи?
Що буде висотою піраміди, якщо дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи?
Задача 1. PABCD - піраміда, грані APD та CPD перпендикулярні до площини основи, PD - спільне ребро цих граней, основа ABCD - квадрат. Довести, що бічні ребра РА і PC перпендикулярні до сторін основи AB та ВС відповідно. Назвати кути нахилу бічних ребер до площини основи.
Виконуючи завдання вчителя та розв'язуючи задачу, учні користуються таблицями, на яких зображено піраміди.
Мотивація навчання учнів.
Учням пропонується розв'язати задачу.
Задача 2. РАВСD – піраміда, АСВ = 90, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС. Довести, що кут РСВ – лінійний кут двогранного кута з ребром АС.
Учні повинні обґрунтувати кожний крок доведення, спираючись на знання зі стереометрії за 10 клас.
(РВ ⏊ (АВС). Оскільки ВС ⏊ АС, то PC ⏊ АС (за теоремою про три перпендикуляри) і ⦟ РСВ - лінійний кут двогранного кута з ребром АС).
Після повідомлення теми , мети і завдань уроку для засвоєння поняття лінійного кута двогранного кута з учнями доцільно розв’язати задачі чотирьох типів:
на доведення того, що позначений на малюнку кут є лінійним кутом двогранного кута;
на виділення шуканого лінійного кута серед кількох позначених;
на побудову лінійного кута даного двогранного кута;
на обчислення градусної міри кута та інших елементів піраміди.
У процесі розв'язування таких задач в учнів не лише формуються навички побудови лінійних кутів даних двогранних кутів, вони також повторюють означення понять, що стосуються піраміди, а також способи розв'язування задач, формули, правила зображення фігур на малюнку тощо.
Перший тип задач
РАВС - піраміда, АВ = ВС, СD = DА, РВ ⏊ (АВС). Довести, що ⦟РDВ - лінійний кут двогранного кута з ребром АС.
РАВСD - піраміда. ВК ⏊ DС. РВ ⏊ (АВС). Довести, що ⦟ РКВ - лінійний кут двогранного кута з ребром СD,
Другий тип задач
РАВС - піраміда, основою якої є правильний трикутник. Який із позначених кутів є лінійним кутом двогранного кута з ребром АС, якщо:
а) D - середина АС, пряма РВ ⏊ АВС;
б) М- середина АС, пряма РО ⏊ (АВС), ON ║BM.
Третій тип задач
Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС, якщо в піраміді РАВС:
а) АВ = ВС, пряма РВ ⏊ (АВС);
б) АВС - правильний трикутник, О - точка перетину медіан, пряма РО ⏊ (АВС);
в) грань АВС - правильний трикутник, О - середина сторони АВ, пряма РО ⏊ (АВС).
Дано прямокутник ABCD і точку Р поза площиною. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром DC, якщо:
а) пряма РВ перпендикулярна до площини ABC;
б) точка О належить відрізку АВ, пряма РО ⏊ (АВС);
в) О - точка перетину діагоналей прямокутника АВСD, пряма РО ⏊ (АВС).
Дано ромб АВСD, пряма РС ⏊ (АВС). Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром ВD.
Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром AD, якщо;
a) ABCD - трапеція, кут BAD - прямий, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС;
б) ABCD - трапеція, ⦟ BAD - прямий, точка О належить відрізку ВС, пряма РО перпендикулярна до площини АВС;
в) АВСD - рівнобічна трапеція, пряма РВ перпендикулярна до площини AВС;
г) АВСD - рівнобічна трапеція, пряма РD перпендикулярна до площини
АВС.
Четвертий тип задач
Дано піраміду РАВС. Знайти величину двогранного кута з ребром АС,якщо:
а) пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, ⦟ АСВ - прямий, ВС = РВ = 4 см;
б) пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, АВ = ВС = 5 см, ВР = АС= 6 см;
в) грань АВС - правильний трикутник, АВ = 6 см, О - точка перетину медіан, пряма ОР перпендикулярна до площини АВС, ОР = 4 см;
АВСD - прямокутник, ВD = 4√(3 ) см, пряма РВ перпендикулярна до площини АВС, ВР = 6 см, двогранний кут з ребром DС дорівнює 60°. Знайти сторони прямокутника.
АВСD - прямокутник, його площа дорівнює 48 см2, DС = 4 см, пряма РО перпендикулярна до площини АВС, РО = 6 см. О - точка перетину діагоналей. Знайти величину двогранного кута з ребром ОС.
Дано піраміду РАВСD, її основа АВСD - ромб. Пряма РС перпендикулярна до площини АВС, ВD = 4 см, РС = 8 см. Двогранний кут з ребром ВО дорівнює 45°. Знайти площу ромба.
У паралелограмі АВСD ⦟ АDС= 120°, АD = 8 см, DС = 6 см, пряма РС перпендикулярна до площини АВС, РС= 9 см. Знайти величину двогранного кута з ребром АD і площу паралелограма.
Підсумок уроку.
За лінійний кут двогранного кута при даній стороні основи піраміди зручно брати кут, утворений висотою відповідної бічної грані, проведеною з піраміди вершини піраміди, і проекцією цієї висоти на площину основи.
Ребро двогранного кута перпендикулярне до площини лінійного кута, а отже і до будь-якої прямої в цій площині, зокрема до будь-якої прямої, що проходить через вершину лінійного кута.
Якщо в основі піраміди лежить паралелограм, то для побудови лінійних кутів двогранних кутів при всіх чотирьох сторонах основи досить через основу висоти піраміди провести висоти цього паралелограма і сполучити кінці цих висот, що лежать на сторонах основи або їх продовженнях, з вершиною піраміди.
Учні записують ці опорні факти в зошити. Учитель оцінює роботу і відповіді учнів.
|
