Каталог статей

Історичні відомості про числа

Друзь Б.Г.

Основи і методика початкової математики

Кількасот років тому з цифрами мало справу небагато лю­дей: вчені, збирачі податей, купці тощо. Нині ж цифри постійно нагадують нам про себе. Відрізки часу, температура повітря, но­мер будинку і квартири, номер школи тощо - все позначається цифрами.Цифри - це символи чисел, знаки, за допомогою яких чис­ла передають на письмі. Спочатку народилися числа, а вже по­тім - цифри. Спочатку люди навчилися лічити, "винайшли" чис­ло, а тоді знайшли спосіб записувати результати лічби.

Як же виникла лічба? З давніх-давен люди дошукувалися відповіді на це запитання. І в різних народів відповідь була не­однакова. Стародавні греки, наприклад, вважали, що людей на­вчив лічити Прометей. Той самий, що за легендою викрав у бо­гів вогонь і віддав його людям. Взагалі більшість народів появу числа пов'язувала з "діяннями" богів або ж міфічних героїв. Щоправда, інколи цю заслугу приписували людям, які насправді жили колись. Автори староруських рукописів, наприклад, вва­жали, що лічбу винайшов Піфагор - старогрецький математик, який жив у VI столітті до нашої ери. Піфагор був великим мате­матиком, але ж люди вміли лічити задовго до VI століття! І не просто вміли лічити, а й мали вчених, які писали математичні книги. Найдавніша математична книга дійшла до нас з другого тисячоліття до нашої ери.

        Доведено, що був час, коли люди обходилися без чисел. Наприклад, мешканці австралійських джунглів, бажаючи обмі­нятися продуктами, чинили так. Люди одного племені клали на землю в'язки їстівного коріння, а другого - навпроти кожної та­кої в'язки ставили кошик з рибою. Встановивши відповідність цих множин (між в'язками й кошиками), провадили обмін.

        З розвитком людства лічба ставала потребою, а пальці рук і ніг довго були знаряддям лічби. Як люди використовували па­льці для лічби, покажемо на прикладі індіанців племені таманака (Південна Америка).Замість "один" індіанці говорять "палець" і обов'язково показують палець. Назви деяких інших чисел цього племені подано в таблиці.

          Ще й зараз деякі відсталі народи та малі діти користуються пальцями  при лічбі.

           Є підстави гадати, що єгиптяни лічили за допомогою лічильної  дошки із накресленими на ній смугами. На кожній смузі розкладали камінці - їх було не більше дев'яти. Щоразу, коли доводилося класти десятий камінець, з цієї смуги скидали всі камінці на сусідню, праву, смугу клали один камінець. Таким •ш пом, єгиптяни лічили, як ми. Можна гадати, що їхня лічильна дошка була прообразом нашої рахівниці.

           Уміння лічити і записувати результати лічби прийшло до людей  з життєвим досвідом. Саме життя спонукало людину до цього.

         Спочатку кількість передавали за допомогою малюнка. Приміром, щоб показати число 1, малювали 1 палець, 2 - два пальці, 10 - з'єднані руки, 100 - згорнуту вимірну мотузку, 1000 - квітку лотоса. Взагалі квітка лотоса була символом великого числа. Цей спосіб запису чисел застосовували в стародавніх кра­їнах - Єгипті і Китаї. Греки ще в V столітті до нашої ери назвали такі знаки ієрогліфами - "священним різьбленням".

         З розвитком писемності, зокрема буквеного письма, числа почали записувати словами. Спочатку записували повністю, по­тім скорочено, використовуючи лише першу літеру числівника. Стародавні математики прийшли до висновку: це не дуже зручно, і от у V столітті до нашої ери зароджується нова, алфавітна система нумерації: першими дев'ятьма літерами позначали оди­ниці (від 1 до 9), наступні дев'ять літер використовувалися для позначення десятків (від 10 до 90), а ті, що йшли за ними, дев'ять літер - для позначення сотень (від 100 до 900).

         Проте у щойно згаданих систем нумерації - ієрогліфічній та алфавітній - був один досить суттєвий недолік: ієрогліфічні знаки й літери не мали чітко визначеного місця - позиції. Такий запис дуже ускладнював обчислення. Щоправда, ще у стародав­ньому Вавілоні, де користувалися своєрідним письмом - клино­писом і де числа позначали тими ж значками-клинцями, вже на­магалися закріпити за одиницями, десятками, сотнями певне мі­сце. До цього вавілонян змушувала обмежена можливість їхньо­го письма. Клинці є клинці, багато їх не вигадаєш! От і додума­лися закріпити за певними розрядами чисел певне місце. Значно пізніше, з другого століття нової ери, цю спробу самостійно по­чали розвивати в Греції, а незабаром позиційний запис чисел удосконалюють в Індії. Саме індійська система лягла в основу нашої нинішньої системи числення.

        Систему числення, основану на позначенні всіх натураль­них чисел десятьма знаками - цифрами, вперше описав і засто­сував у IX столітті талановитий син узбецького народу Магомет син Муси із Хорезму в рукописі "Арифметика індорум".

         У Європі нова система нумерації стала відома на початку XIII століття завдяки італійському вченому Леонардо Пізанському, який описав її в 1202 році у своїй праці "Книга обчис­лень". Але утвердилася ця система в Західній Європі значно піз­ніше - у ХУ-ХУІ століттях.

         На Русі про арабсько-індійську систему знали ще в XIII столітті. Так на одному знайденому дзвоні, виготовленому у ті часи, знаходимо цю нову нумерацію. На початку XVII століття цими цифрами вже нумерують сторінки російських книг, їх кар­бують на золотих монетах. А в середині століття ними користу­ються в рукописних працях. В 1703 році в "Арифметиці" Леонтія Магницького усе арифметичне вчення викладене на основі по­зиційної системи числення, і тільки сторінки підручника позна­чені слов'янською нумерацією.

       Як виникло саме слово цифра? Походить воно від арабського слова "сифр", що в перекладі означає "порожнє місце". Річ . і їм, що індійці не мали чим позначати відсутність розрядного Числа і там, де нині стоїть нуль, ставили крапку, яку називали "сифр". Коли ж з'явився нуль, його також стали називати циф­рою. Так було до XVIII століття - поки він дістав своє наймення під латинського слова "нулюс", що означає "ніякий". А цифрами пали називати символи чисел взагалі.

      Назви десяти цифр у всіх слов'ян дуже схожі, їх можна пі-шати, коли говорять чех, поляк, болгарин, серб, українець, росі­янин, білорус. А от назви великих чисел різняться помітно, бо Г являлися пізніше. І кожен народ виробляв свої найменування. Ми кажемо, наприклад, двадцять п'ять, а чехи - п'ять і два­дцять; ми кажемо сорок, а поляки - чтердзесці (чотири десят­ки).З операціями додавання і віднімання люди мали справу за­довго до того, як числа дістали імена. Коли кілька груп збирачів ягід або рибалок складали в одне місце свою здобич, вони вико­нували операцію додавання. Правда, при цьому додавались не числа, а сукупності (або, як говорять математики, множини) предметів, але операція додавання чисел якраз описує додавання сукупностей предметів. А коли із зібраних горіхів частина вико­ристовувалася в їжу, люди виконували віднімання - запас горі­хів зменшувався.

        З операцією множення люди познайомилися, коли почали сіяти хліб і побачили, що зібраний врожай у кілька разів біль­ший, ніж кількість посіяного зерна. Говорили: зібраний врожай "сам - двадцять" (у двадцять разів більше зібрали, ніж посіяли), "сам - сорок" і т.д. Нарешті, коли здобуте на полюванні м'ясо тварин або зібрані горіхи ділили порівну між усіма членами племені, виконували операцію ділення.

        Самі назви цих операцій показують, з якими діями над предметами вони пов'язані. Але повинні були пройти тисячоліт­тя, поки люди зрозуміли, що додавати, віднімати, множити і ді­лити можна не самі сукупності предметів, а числа.

         Знаки арифметичних дій, рівності та нерівності з'явилися у такому вигляді, як ми їх знаємо, з поширенням у Європі арабсь­кого написання чисел. Звичайно, не всі зразу.

         Першими народилися знаки додавання "+" і віднімання їх наприкінці XV століття застосував лейпцігський профе­сор Ян Відман у творі "Швидка і красива лічба для всього купе­цтва".

         Але ж люди вміли віднімати й додавати і раніше! Як же позначали ці дії на письмі? У різних народів по-різному. Єгип­тяни, наприклад, коли хотіли додати два числа, схематично ма­лювали дві людські ноги, що "рухалися" вперед, а при відніман­ні ступні цих ніг скеровували в зворотному напрямку. У старо­давніх греків додавання позначали вертикальною рискою, а від­німання - значком, схожим на кому. У Європі дію додавання ще позначали літерою "р" або "Р" (початкова літера латинського слова "плюс" - більше), а віднімання "т" або "М" (від латинсь­кого "мінус" - менше). Однак ці позначення не прижилися.

           Знак множення "х" - навскісний хрест - знаходимо у праці англійського математика Уїльяма Оутреда "Математичний ключ" (1631 рік). Згодом, у 1698 році, видатний німецький математик Готфрід-Вільгельм Лейбніц дію множення запропонував переда­вати крапкою (•), а трохи раніше, у 1684 році, впровадив дві крап­ки (:) для позначення ділення. Щоправда, ці знаки дістали загаль­не визнання і набули поширення лише у XVIII столітті завдяки підручникам німецького математика Хрістіана Вольфа.

           Знак рівності "=" ввів англійський учений Роберт Рекорд ще в XVI столітті. На його думку, ніщо не може передати рівність так, як два однакових паралельних відрізки. До нього в математи­ці користувалися іншими знаками рівності. Так старогрецький математик Діофант відношення рівності позначав літерою "і" (по­чаткова у слові "ізос" - рівний). Індійські й арабські математики, а також більшість європейських, найчастіше, аж до XVII століття, вживали для цього повністю або скорочено слово "рівний".

           Знаки "<" і ">" для позначення відношень нерівності сис­тематично . почав застосовувати англійський математик Томас Гарріот. Його книжка, де він вживає ці знаки, побачила світ у 1631 році.

           Дужки круглі знаходимо у математичних творах першої половини XV століття. До їхньої появи ставили риски над вира­зом, якого вони стосувалися, або ж під ним, що було дуже не­зручно під час друкування.

          Знак ділення й дробу - горизонтальна риска - вперше зустрічається у згадуваного вже нами італійського математика Ле­онардо Пізанського, який, мабуть, запозичив його з арабських  рукописів. Для зручності в друкуванні англієць Август де Морган замінив  горизонтальну риску навскісною.

         Наука, яка почала вивчати числа і дії над ними, дістала на­шу "арифметика" (від грецького arithmos, що означає "число"). 

http://myklass.com.ua/