Каталог статей

Цікава математика

у розв’язках і міркуваннях

Вiд якостi, глибини i обсягу знань якими оволодiває пiдростаюче поколiння, значною мiрою залежить дальший прогрес нашого суспiльства.

І тому сьогоднi актуальною стає проблема навчити учнiв мислити, розв’язувати задачi не лише стандартнi, а й такi що вимагають певної незалежностi мислення, творчих пошукiв оригiнальностi, винахiдливостi.

В таких задачах учнi не знають заздалегiдь нi способу їх розв’язання, нi того, на якому навчальному матерiалi ґрунтується розв’язання. Щоб виконати таку вправу, треба всебiчно врахувати взаємозв’язки між даним i шуканим, правильно оцiнити окремi компоненти завдання, поданого в нестандартнiй формі, зрозумiти властивостi величин та залежностi мiж ними, якi безпосередньо не зазначенi в умовi, але випливають з певних закономірностей, причинних залежностей.

Задачi логiчного спрямування стимулюють дiтей до активної розумової дiяльностi, до творчого пошуку, розвиваютъ логiчне мислення, кмiтливiсть, комбiнаторнi здiбностi, а головне — сприяють усвiдомленню математичних закономiрностей, формуванню навичок свiдомого вибору дiй, практичних умiнъ i загалом пiдвищують культуру мислення.

Досвiд показує, що сильнi учнi з iнтересом розв’язують такi задачi, виявляють творчу самостiйнiсть, насолоджуються радiстю перемоги. А емоцiї, викликанi розв’язуванням нестандартних творчих задач, пережитi людиною в шкільному вiцi, можугь пробудити у неї смак до розумової дiяльностi, залишити свiй слiд в розумі i характерi людини на довгi роки, а може бути, i на все життя.

1. Половину вiдстанi вiд села до мiста велосипедист проїхав зi швидкiстю

20 км/годину, а другу половину вiдстанi — зi швидкiстю 10 км/годину. На зворотньому шляху iз мiста вiн їхав так, що половину часу, за який повернувся iз мiста в село, вiн проїхав зi швидкiстю 20 км/годину, а другу половину часу рухався зi швидкiстю 10 км/годину. Коли велосипедист проїхав весь шлях швидше: iз села в мiсто чи навпаки?

Розв’язування. При поїздцi iз села в мiсто зi швидкiстю 20 км/год (бiльшою) велосипедист проїхав тiльки половину вiдстанi. А на зворотньому шляху в село з такою ж швидкiстю (бiльшою) вiн проїхав половину всього часу. Отже, зворотнiй шлях велосипедист проїхав швидше, тобто, за менший промiжок часу.

2. Два села знаходяться на одному i тому ж березi рiчки. Дорога, яка з’єднує їх, проходить вздовж рiчки. З одного села в iнше одночасно вiдправились велосипедист i човняр. Швидкiсть велосипедиста i лодки в стоячiй водi однаковi. Швидкiсть велосипедиста на всьому шляху не змiнювалась, а плин рiчки змiнював швидкiсть руху лодки. Тривалiсть зупинок i у велосипедиста, i у човняра була однаковою. Хто швидше повернувся назад?

Розв’язування. Лодка за течiєю йшла менше часу, нiж проти течiї, тому лодка зi зменшеною швидкiстю йшла бiльше часу, нiж зi швидкiстю збiльшеною, а швидкiсть велосипедиста не змiнювалась. Вiн повернувся назад швидше човняра.

3.  У лютому одного року понеділки тричі припадали на непарні числа. Яким днем тижня було 25 лютого?

Вказівка: сума двох непарних чисел є парним числом, а парного і непарного – непарним.

Міркування. У тижні 7 днів. Якщо один понеділок припав на непарне число, то наступний на парне і т. д. Щоб три понеділка припали на непарні числа, необхiдно, щоб у лютому було 5 понедiлкiв. Це можливо лише у високосному роцi, тобто коли у лютому 29 днiв. У цьому випадку понедiлки будуть 1, 8, 15, 22, 29 лютого. Тодi 25 лютого — четвер.

4. Лев може з’їсти вiвцю за 2 год., вовк — за 3 год., а собака — за 6 год. За який час вони разом з’їли б вівцю?

Мiркування: Лев —2 год.

                        Лев — за 6 год. — 3 вiвцi.

                        Вовк — 3 год.

                        Вовк — за 6 год. —2 вiвцi.

                        Собака —6 год.

                        Собака — за 6 год. —1 вiвцю.

За ? год. — 1 вiвця

Разом за 6 год. — 6 овець

а за 1 год. — 1 вiвця

Вiдповiдь: за 1 годину.

5. У Андрiя i Бориса разом 11 горiхiв. У Андрiя i Володі — 12 горiхiв, у Борi i Володі — 13 горiхiв. Скiльки всього горiхiв у Андрiя, Бориса i Володі разом.

Мiркування 1: Позначимо кiлькiсть горiхiв у Андрiя — А, у Бориса — Б, у Володі — В. Тодi умову задачi можна записати трьома рiвностями:

А + Б = 11

А + В = 12

Б + В = 13

Склавши рiвностi (1), (2) i (3), отримуємо:

2А + 2Б + 2В = 11 + 12 + 13 = 36.

Звiдси, А + Б + В = 36 : 2 = 18 горiхiв.

Мiркування 2: iз рiвностi (1) i (2) видно, що у Вови на один горiх бiльше, нiж у Борi: 12 – 11 = 1 (горiх). Так як у Вови i Бориса разом 14 горiхiв, то можна взнати, скiльки у них було б горiхiв, якби у Вови було стiльки ж горiхiв, скiльки i у Бориса: 13 — 1 = 12 (горiхiв). Тодi у Вови 6 + 1 = 7 (горiхiв), а у Андрiя 11 – 6 = 5 (горiхiв), а у всiх разом 5 + 6 + 7 = 18 (горiхiв).

6.  Один володар, бажаючи випробувати двох мудрецiв сказав їм: “Перед вами 3 ковпаки. Один — чорний i два бiлих. Вам надiнуть по ковпаку. Менi цiкаво знати, хто догадається першим, якого кольору у нього ковпак”. Пiсля цього вiдвели мудрецiв в темну кiмнату i там надiли їм на голови по бiлому ковпаку. Потiм привели їх назад. Довго вони дивились один на одного. Нарештi один з них вигукнув: “На менi бiлий ковпак!” Як розмiрковував цей мудрець?

Мiркування мудреця: Якщо на менi чорний ковпак, то iнший мудрець вигукнув би, що на ньому бiлий ковпак, але вiн мовчав. Значить, на менi бiлий ковпак.

7. На запитання, скiльки важить рибина, рибалка вiдповiв: “Хвiст важить 150г, голова стiльки, скiльки хвiст i половина тулуба, а тулуб - скiльки голова i хвiст разом. Скiльки важить цiла рибина?

Мiркування: Вага голови дорiвнює вазi хвоста плюс (+) половина ваги тулуба. Із умови задачi виходить, що вага тулуба дорівнює вазi хвоста плюс (+) половина ваги тулуба, плюс (+) вага хвоста. Значить половина ваги тулуба дорiвнює вазi двох хвостiв, тобто 150 х 2 = 300г, а весь тулуб важить 600г i тодi вага голови дорiвнює: 150 + 300 + 450г.

Тодi вага риби дорiвнює: 450 + 600 + 150 = 1200г = 1кг 200г.

8. “Як лисиця i вовк рибу дiлили”.

  Лисиця i вовк роздобули багато риби.

  -  Давай, вовче, подiлимо рибу порiвну, - говорить лисиця.

  -  Давай! Тiльки я в математицi слабкий, дiли ти, лисиця.

Кинула лисиця вовковi 1 рибу, а собi 2.

  -  Ось тобi, вовче, одна рибка, а менi двi.

  - А чи не мало?

 -  Слухай далi. Тобi 3, менi 4, тобi 5, менi 6, тобi 7, менi 8.

 Роздiлила лисиця всю рибу, кожного разу почергово збiльшуючи рибу на одну. (Останнiй раз кинула собi лисиця 20 штук i на цьому риба закiнчилась.) Задоволений вовк думає, що порiвну роздiлили.

  -  А як, по-вашому, хто бiльше отримав риби i на скiльки?

Розв’язування І спосiб:

Вовк отримав:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = (1 + 19) + (3+ 17) + (5+ 15) +

+ (7 + 13) + (9 + 11) = 20 х 5= 100 рибин.

Лисицi дiсталося:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 = 14 + 16 + 18 + 20 = (2 + 20) + (4 + 18) = (6 + 16) +

+ (8 + 14) + (10 + 12)  = 22 х 5= 110 рибин.

Лисиця отримала на 10 рибин бiльше.

Розв’язування II спосiб:

Ця задача на рiзницеве порiвняння: лисиця щоразу кидала собi на одну рибину бiльше, всього кидала 10 разiв i тому отримала на 10 рибин бiльше.

9. В Аравії помирав старий чоловiк. Все своє майно, 17 верблюдiв, вiн

заповiдав синам, причому старший мав одержати половину, середнiй — третину а найменший — дев’яту частину. Пiсля смертi батька сини не знали,

що робити, бо 17 не дiлилося без остачi нi на 2, нi на 3, нi на 9.

Довго сперечалися брати, аж тут пiд’їхав до них на верблюдi мудрець. Довiдався про суперечку i дав братам мудру пораду, яка й допомогла роздiлити майно так, як заповiв батько. Що то була за порада?

Мiркування: Мудрець вiддав братам свого верблюда, верблюдiв стало 18. Тодi їх подiлили вiдповiдно до батькового заповiту. Старший одержав 9, середнiй 6, молодший 2. Усього 17. А мудрець забрав свого верблюда й поїхав далi.

10. Чоловiк, жiнка i двоє дiтей повиннi переправитись на протилежний берег рiчки при допомозi човна. Чоловiк i жiнка важать по 100кг, а дiти по 50кг. Як їм бути, коли човен вмiщає до 100кг i кожен з них вмiє веслувати.

Мiркування. Спочатку переправляються двоє дiтей. Один з них вертається, пiсля цього переправляється батько. Друга дитина повертає човна. Знову переправляються двоє дiтей i один з них повертає лодку. Переправляється мати, а дитина знову повертає лодку. Двоє дiтей знову переправляються разом на другий берег.

11. По вулицi йшла дiвчинка. Зустрiвши дiдуся, вона привiталась. Дiдусь сказав: “Добрий день, маленька дiвчинко!” Дiвчинка заперечила, що вона не мала, i коли дiдусь запитав скiльки їй рокiв, то вона вiдповiла: в 2рази  молодша мами, а мама на 5 рокiв молодша батька. Разом нам 60 рокiв”. Скiльки рокiв дiвчинцi?

Мiркування: Роки дiвчинки приймемо за 1 частину, тодi роки мами складуть двi частини, а батька — двi частини + 5 рокiв. І так, п’ять частин складають 55 рокiв, а на одну частину припадае 55 : 5 = 11 рокiв.

12. Висота дуба 20м. За день мурашка пiднiмається по ньому на 5м вверх, а за нiч спускається на 4м вниз. За скiльки днiв мурашка доповзе до вершини дуба?

Мiркування: За 16 днiв. За кожнi з перших 15 дiб мурашка пiднiмався на 1м. Отже, за 15 дiб вiн пiднявся вверх на 15м. А за 16-й день мурашка пiднiметься ще на 5м i досягне вершини.

13. Математик, опинившись випадково в невеличкому мiстечку i бажаючи хоч як-небудь провести час, вирiшив пiдстригтися. В мiстечку було лише 2 майстра (у кожного своя перукарня). Заглянувши до одного майстра, математик побачив, що господар недбало пiдстрижений. В салонi другого майстра було iдеально чисто, а власник його бездоганно акуратно пiдстрижений. Подумавши, математик вiдправився стригтись до першого перукаря. Пояснiть причину дивного, на перший погляд, рiшення математика.

Мiркування: Оскiльки в мiстечку лише 2 перукаря, кожен майстер змушений стригтись у другого. Математик вибрав того з майстрiв, хто краще пiдстриг свого конкурента.

14. Який зараз день і котра година, якщо вiд дев’ятої години суботнього вечора хвилинна стрiлка годинника зробила рiвно 40 обертiв?

Мiркування: Кожний оберт хвилинна стрiлка робить за одну годину, а 40 обертiв — 40 годин. Через добу (24 години) була недiля, 9 годин вечора, а ще через 3 години — 12 годин ночi, пiсля чого почався понеділок. Таким чином, до дванадцятої години ночi пройшло 27 годин (24 + 3 = 27), залишилося 13 годин (40 — 27 = 13) на понеділок. Отже, маємо 1 годину дня, понеділок.

15. У класi 37 учнiв. Чи знайдеться такий мiсяць року, у якому вiдзначатимуть свiй день народження не менш як 4 учнi цього класу?

Мiркування: Якщо в кожному мiсяцi вiдзначатимуть день народження

3 учнi, то за рiк таких учнiв буде 36 (3 х 12 = 36). У класi є 37 учнiв. Отже, в

одному мiсяцi день народження вiдзначатимуть 4 учнi. Якщо хоч в один з

мiсяцiв вiдзначатимуть день народження менш як 3 учнi, то обов’язково буде

й такий мiсяць, у якому вiдзначатимуть день народження бiльш як 4 учнi.

16.  Три недiлi одного місяця припадають на непарнi дати. Причому одна з них — на 17 число. Скiльки днів у цьому мiсяцi?

Мiркування: Якщо одна недiля 17-го числа, то наступна — 24-го. До 17-го числа неділi були 10-го i 3-го. Таким чином, з 3-го до 24-го недiлi припадають на 2 непарнi дати, а тому третя недiля, яка припадає на непарну дату, буде 31-го числа. Отже, у мiсяцi 31 день.

17. Шість однакових бочок умiщують 28 відер води. Скiльки вiдер води уміщують 15 таких бочок?

Мiркування: 15 бочок можна подати як 6 бочок + 6 бочок + 3 бочки. 6 бочок умiщують 28 вiдер води. Тодi 3 бочки вмiщують 14 вiдер води. Отже, 15 бочок уміщують 70 вiдер води.

18.  В недiлю рибалка ловив рибу 3 рази: вранцi, вдень i ввечерi. Весь улов - 3кг, причому, вранцi вiн зловив в 3 рази бiльше, нiж увечерi, а вдень стiльки ж, скiлъки і ввечерi. Скiльки риби зловив рибалка вранцi i ввечерi?

Мiркування: Вилов риби ввечерi — одна частина, вранцi — три частини, а вдень — одна частина. Отже, весь улов складає 1 + 3 + 1 = 5 частин; 3кг = 5 частин, тодi на одну частину припадає 3000 : 5 = 600г (це вечiрнiй улов),

600 х 1800г (ранiшнiй улов).

19. На уроках домоведення дiвчатка навчились пiдсмажувати шматочки хлiба. Пiдсмаживши одну сторону шматочка, на що йде 2 хв., його перевертають на другу сторону i смажать ще 2 хв. Сестра вирiшила пригостити нас 3 шматочками, але на сковорiдку можна положити тiльки 2 шматочки. Але вона не розгубилась і пiдсмажила 3 шматочки за 6 хв. Яким чином вона це зробила?

Мiркування: Через 2 хв. дiвчинка перевернула один шматочок, а на мiсце другого положила третiй шматочок. Через 4 хвилини перший шматочок зняла, третiй перевернула i положила на другу сторону другий шматочок.

20. Сашко витрачає на дорогу в школу 12 хвилин, а Марiйка 18 хв. Через 3 хвилини пiсля виходу Марiйки до школи вийшов Сашко. Через який час вiн її наздожене?

Мiркування: На пiвшляху. Оскiльки Марiйка витрачає на дорогу в школу в пiвтора рази бiльше часу, нiж Сашко, то через 6 хвилин Сашко її наздожене, пройшовши половину шляху а Марiйка за той самий час також пройде половину всього шляху.

21. Свiтлана припинила читати книжку на 53-й сторiнцi і звернула увагу на те, що перша сторiнка, з якої вона почала сьогоднi читати, має номер, вiдмiнний вiд 53, але записаний тими самими цифрами. Скiльки сторiнок вона сьогоднi прочитала?

Мiркування: Перша сторiнка, яку Свiтлана сьогоднi прочитала, має номер 35. Отже, сьогоднi вона прочитала 53 - 34 = 19 сторiнок.

                                            вища категорія, загальноосвітня

                                            школа І-ІІІ ступенів №9